Las bases de Gröbner en el estudio de los polinomios simétricos

Resumen

En este artículo presentamos dos algoritmos, el primero permite escribir un polinomio simétrico f en k[x1, · · · , xn], con k un cuerpo, en términos de las funciones simétricas elementales; el segundo, determina si un polinomio f en k[x1, · · · , xn], con k un cuerpo, es simétrico, y si este es el caso, cómo escribirlo en términos de las funciones simétricas elementales. Además, probamos de manera detallada cómo se obtiene una base de Gröbner G en el caso particular cuando se considera el orden lex sobre los términos, herramienta necesaria para presentar el segundo algortimo. Adicionalmente, mostramos una pequeña aplicación de los polinomios simétricos en el cálculo del anillo de invariantes de un grupo finito de matrices dado. Ilustramos los resultados con variados ejemplos.